دسته‌بندی‌ها

توجه : تمامی مطالب این سایت از طریق ربات جمع آوری شده است. در صورت مشاهده مطالب مغایر قوانین جمهوری اسلامی ایران توسط آیدی موجود در بخش تماس با ما، به ما اطلاع داده تا مطلب حذف شود. به امید ظهور مهدی (ع).
قضیه تالس

ببینید

قضیه تالس

این مقاله نیازمند ویکی‌سازی است. لطفاً با توجه به راهنمای ویرایش و شیوه‌نامه، محتوای آن را بهبود بخشید. این مقاله دربارهٔ قضیهٔ تالس مربوط به تشابه و تناسب است. برای قضیهٔ دایره تالس، قضیه تالس (دایره) را ببینید. قضیه ی تالس : خط BC با خط DE موازی است پس نسبت پاره خط های AD به DB برابر است با نسبت پاره خط AE به Ec. می توان به زبان ریاضی نوشت : A D D B = A E E C {\displays yle {\f ac {AD}{DB}}={\f ac {AE}{EC}}} و همچنین با تعمیم قضیه ی تالس می توان نتیجه ی زیر را گرفت: A E A C = A D A B = D E B C {\displays yle {\f ac {AE}{AC}}={\f ac {AD}{AB}}={\f ac {DE}{BC}}} قضیهٔ تالس یکی از قضایای مهم در هندسه مقدماتی است که می‌گوید: اگر دو خط راستِ موازی با یکدیگر ، دو خط متقاطع را قطع کنند، آنگاه بر روی آن دو خط متقاطع پاره خط‌های متناسب ایجاد می‌شود. محتویات ۱ تاریخچه ۱.۱ مصریان باستان ۱.۲ یونانیان باستان ۲ اثبات و تعمیم قضیه تالس ۲.۱ بیان قضیه و اثبات در اصول اقلیدس ۲.۲ تعمیم‌های قضیه تالس ۲.۲.۱ تعمیم اول ۲.۲.۲ تعمیم دوم ۲.۳ اثبات عکس قضیه در اصول اقلیدس ۲.۴ اثبات به کمک بردار ۲.۵ اثبات قضیهٔ تالس در فضای سه بعدی ۳ مفاهیم مرتبط ۳.۱ مثلث‌های متشابه ۳.۲ ضرب اسکالر در فضای برداری ۴ کاربردها ۴.۱ به دست آوردن ارتفاع هرم خئوپس ۴.۲ ضرب دو پاره خط و پیدا کردن مقدار معکوس پاره خط ۵ منابع تاریخچه[ویرایش] مصریان باستان[ویرایش] در پاپیروس رایند قضیه ای بیان شده‌است که هم ارز با قضیهٔ تالس می‌باشد هزار و سیصد سال قبل از تولد تالس مصریان باستان قضیهٔ تالس را می‌دانستند؛ درواقع در راه حل مسئلهٔ شماره ۵۳ پاپیروس رایند از معادل قضیهٔ تالس استفاده می‌شود.[۱] یونانیان باستان[ویرایش] با توجه به منابع تاریخی یونان باستان، تالس ریاضی‌دان یونانی با استفاده از این قضیه توانست ارتفاع هرم خئوپس را به دست آورد.[۲] قضیهٔ دوم مقالهٔ ششم اصول اقلیدس به اثبات قضیهٔ تالس و عکس آن می‌پردازد. اثبات و تعمیم قضیه تالس[ویرایش] بیان قضیه و اثبات در اصول اقلیدس[ویرایش] اگر خط راستی موازی با یکی از اضلاع مثلث رسم شود، دو ضلع دیگر را به یک نسبت می‌برد.(قضیه ۲ مقالهٔ ششم) "فرض می‌کنیم DE موازی با BC یکی از اضلاع مثلث ABC رسم شده‌است. می‌خواهیم اثبات کنیم نسبت BD به AD مثل نسبت CE است به AE. E را به B و D را به C وصل می‌کنیم؛ بنابراین مساحت مثلث BDE با مساحت مثلث CDE مساوی است. زیرا هر دو دارای یک قاعدهٔ DE هستند و رأسهای آنها بر خط راست BC، موازی با قاعدهٔ DE قرار دارد؛" D E ∥ B C ⟹ | △ B D E | = | △ C D E | {\displays yle DE\pa allel BC\Lo g igh a ow |\ ia gle {BDE}|=|\ ia gle {CDE}|} "از آن جایی که نسبت‌های کمیت‌های متساوی به یک کمیت با هم مساوی اند پس نسبت مساحت مثلث BDE به مثلث ADE مثل نسبت مساحت مثلث CDE است به مثلث ADE. از طرفی نسبت مساحت مثلث BDE به مساحت مثلث ADE، مثل نسبت BD است به DA؛ زیرا دارای یک ارتفاع اند که از E بر AB عمود می‌شود و نسبت آنها به یکدیگر مثل نسبت قاعده‌های آنهاست. به‌طور مشابه نسبت مساحت مثلث CDE به مساحت مثلث ADE مثل نسبت CE است به EA. بنابراین نسبت BD به DA نیز مثل نسبت CE است به EA."[۳] | △ B D E | | △ A D E | = | △ C D E | | △ A D E | = C E . h ′ E A . h ′ = B D . h A D . h ⇒ C E E A = B D A D {\displays yle {\f ac {|\va ia gle {BDE}|}{|\va ia gle {ADE}|}}={\f ac {|\va ia gle {CDE}|}{|\va ia gle {ADE}|}}={\f ac {CE.h'}{EA.h'}}={\f ac {BD.h}{AD.h}}\Righ a ow {\f ac {CE}{EA}}={\f ac {BD}{AD}}} تعمیم‌های قضیه تالس[ویرایش] اگر خطی دو ضلع مثلثی را در دو نقطه قطع کند و با ضلع سوم آن موازی باشد، مثلثی پدید می‌آید که اندازهٔ ضلع‌های آن با اندازهٔ مثلث اصلی متناسب است. یعنی: A E A C = A D A B = D E B C {\displays yle {\f ac {AE}{AC}}={\f ac {AD}{AB}}={\f ac {DE}{BC}}} تعمیم اول[ویرایش] با استفاده از ترکیب نسبت در صورت در عبارت A E C E = A D B D {\displays yle {\f ac {AE}{CE}}={\f ac {AD}{BD}}} ، عبارت A E A C = A D A B {\displays yle {\f ac {AE}{AC}}={\f ac {AD}{AB}}} اثبات می‌شود: A E E C = A D D B ⇒ A E E C + 1 = A D D B + 1 ⇒ A E + E C E C = A D + D B D B ⇒ A C E C = A B D B {\displays yle {\f ac {AE}{EC}}={\f ac {AD}{DB}}\Righ a ow {\f ac {AE}{EC}}+1={\f ac {AD}{DB}}+1\Righ a ow {\f ac {AE+EC}{EC}}={\f ac {AD+DB}{DB}}\Righ a ow {\f ac {AC}{EC}}={\f ac {AB}{DB}}} تعمیم دوم[ویرایش] از نقطهٔ E خطی موازی AB رسم می‌کنیم که BC را در F قطع می‌کند. از نقطهٔ E پاره خطی موازی با AB رسم می‌کنیم EF با BA موازی است پس طبق تعمیم اول قضیهٔ تالس نسبت CE به EA برابر نسبت CF است به FB با استفاده از ترکیب در صورت ثابت می‌شود که نسبت AC به AE برابر نسبت BC به BF است، از طرفی می‌دانیم چهار ضلعی BDEF متوازی الاضلاع است پس پاره خط DE با پاره خط BF برابر است. پس می‌توان نتیجه گرفت نسبت AC به AE برابر BC به BF است. C E A E = C F B F ⇒ C E A E + 1 = C F B F + 1 ⇒ A C A E = B C B F → B F = D E A C A E = B C B F {\displays yle {\begi {a ay}{lcl}{\f ac {CE}{AE}}={\f ac {CF}{BF}}\Righ a ow {\f ac {CE}{AE}}+1={\f ac {CF}{BF}}+1\Righ a ow \\{\f ac {AC}{AE}}={\f ac {BC}{BF}}{\x igh a ow[{}]{BF=DE}}{\f ac {AC}{AE}}={\f ac {BC}{BF}}\e d{a ay}}} اثبات عکس قضیه در اصول اقلیدس[ویرایش] اگر ضلع‌های مثلثی به یک نسبت بریده شده باشند، خط راست واصل بین نقطه‌های بریدگی با ضلع سوم موازی است. باز فرض می‌کنیم در مثلث ABC ضلعهای AB و AC به یک نسبت قطع شده‌اند، به طوری که نسبت BD به DA مثل نسبت CE به EA است؛ و فرض می‌کنیم D به E وصل شده‌است. می‌خواهیم اثبات کنیم DE با BC موازی است. در همان شکل، چون نسبت BD به DA مثل نسبت CE است به EA اما نسبت BD به DA، مثل نسبت مساحت مثلث BDE است به مثلث ADE، و، نسبت CE به EA، مثل نسبت مساحت مثلث CDE است به مثلث ADE، بنابراین، نسبت مساحت مثلث BDE به مثلث ADE هم، مثل نسبت مساحت مثلث CDE است به مثلثADE. لذا نسبت مساحت‌های هر یک از مثلثهای BDE و CDE به ADE، یکی هستند، بنابراین مساحت مثلث BDE با مثلث CDE مساوی است؛ و قاعده هر دو آنها DE است. اما مثلت‌های متساوی که یک قاعده داشته باشند رأس‌های آن‌ها نیز بر خط راستی موازی با قاعده قرار دارند؛ بنابراین DE با BC موازی است.[۳] اثبات به کمک بردار[ویرایش] برای اثبات ابتدا فرض کنیم: B A → = K . M A → , A C → = K ′ . A N → , B C → = K ″ . M N → {\displays yle {\ove igh a ow {BA}}=K.{\ove igh a ow {MA}},{\ove igh a ow {AC}}=K'.{\ove igh a ow {AN}},{\ove igh a ow {BC}}=K''.{\ove igh a ow {MN}}} بنابراین: M A → + A N → = M N → , B A → + A C → = B C → ⟹ {\displays yle {\ove igh a ow {MA}}+{\ove igh a ow {AN}}={\ove igh a ow {MN}},{\ove igh a ow {BA}}+{\ove igh a ow {AC}}={\ove igh a ow {BC}}\Lo g igh a ow } K . M A → + K ′ . A N → = K ″ . M N → = K ″ ( M A → + A N → ) = K ″ M A → + K ″ . A N → ⟹ {\displays yle K.{\ove igh a ow {MA}}+K'.{\ove igh a ow {AN}}=K''.{\ove igh a ow {MN}}=K''({\ove igh a ow {MA}}+{\ove igh a ow {AN}})=K''{\ove igh a ow {MA}}+K''.{\ove igh a ow {AN}}\Lo g igh a ow } ( K − K ″ ) M A → + ( K ′ − K ″ ) . A N → = 0 {\displays yle (K-K''){\ove igh a ow {MA}}+(K'-K'').{\ove igh a ow {AN}}=0} ولی a . M A → {\displays yle a.{\ove igh a ow {MA}}} و b . A N → {\displays yle b.{\ove igh a ow {AN}}} بردارهایی در راستا و جهت‌های مختلف اند، پس مجموع آنها نمی‌تواند صفر شود مگر آنکه: K − K ′ = K ′ − K ″ = 0 {\displays yle K-K'=K'-K''=0} و در نتیجه K = K ′ = K ″ {\displays yle K=K'=K''} و از آنجا حکم ثابت می‌شود.[۴] اثبات قضیهٔ تالس در فضای سه بعدی[ویرایش] صفحه‌های موازی، روی دو خط که آن‌ها را قطع می‌کنند، پاره خط‌های متناسب ایجاد می‌کنند. با فرض آن که صفحه Q بین دو صفحه P و R قرار دارد، خط 'AC را رسم می‌کنیم. این خط صفحه Q را در نقطه ای مانند M قطع می‌کند. صفحه شامل دو خط متقاطع AC و 'AC را T و صفحه گذرنده از دو خط متقاطع 'AC و 'A'C را S می‌نامیم، داریم: صفحه T دو صفحه موازی Q و R را قطع کرده‌است، بنابراین فصل مشترک‌ها موازی هستند یعنی 'BM||CC، در نتیجه در مثلث 'ACC با توجه به قضیه تالس می‌توان نوشت: A B B C = A M M C ′ {\displays yle {\f ac {AB}{BC}}={\f ac {AM}{MC'}}} همچنین صفحه S دو صفحه موازی P و Q را قطع کرده‌است، بنابراین فصل مشترک‌ها موازی هستند یعنی 'B'M||AA، در نتیجه در مثلث 'ACC با توجه به قضیه تالس می‌توان نوشت: A M M C ′ = A ′ B ′ B ′ C ′ {\displays yle {\f ac {AM}{MC'}}={\f ac {A'B'}{B'C'}}} اکنون با توجه به دو رابطهٔ بالا داریم: A B B C = A ′ B ′ B ′ C ′ {\displays yle {\f ac {AB}{BC}}={\f ac {A'B'}{B'C'}}} البته باید توجه داشت که عکس قضیهٔ تالس در فضا لزوماً برقرار نیست.[۵] مفاهیم مرتبط[ویرایش] مثلث‌های متشابه[ویرایش] با انطباق گوشه‌های دو مثلث متشابه قضیه تالس را می‌توان اعمال کرد. قضیهٔ تالس رابطهٔ تنگاتنگی با مفهوم تشابه دارد. در واقع قضایای مثلث‌های متشابه به کمک قضیهٔ تالس اثبات می‌شوند. مثلاً با منطبق کردن گوشه‌های دو مثلث که زوایای یکسانی دارن، می‌توان با توجه به موازی بودن دو ضلع پس از انطباق و استفاده از قضیهٔ تالس، متناسب بودن اضلاع دو مثلث را اثبات کرد. ضرب اسکالر در فضای برداری[ویرایش] در یک فضای برداری نُرمیده، با کمک اصول موضوعهٔ ضرب اسکالر (مشخصاً λ ⋅ ( a → + b → ) = λ ⋅ a → + λ ⋅ b → {\displays yle \lambda \cdo ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdo {\vec {a}}+\lambda \cdo {\vec {b}}} و ‖ λ a → ‖ = | λ | ⋅   ‖ a → ‖ {\displays yle \|\lambda {\vec {a}}\|=|\lambda |\cdo \ \|{\vec {a}}\|} ) می‌توان قضیهٔ تالس را به دست آورد. ‖ λ ⋅ a → ‖ ‖ a → ‖ = ‖ λ ⋅ b → ‖ ‖ b → ‖ = ‖ λ ⋅ ( a → + b → ) ‖ ‖ a → + b → ‖ = | λ | {\displays yle {\f ac {\|\lambda \cdo {\vec {a}}\|}{\|{\vec {a}}\|}}={\f ac {\|\lambda \cdo {\vec {b}}\|}{\|{\vec {b}}\|}}={\f ac {\|\lambda \cdo ({\vec {a}}+{\vec {b}})\|}{\|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|}}=|\lambda |} کاربردها[ویرایش] به دست آوردن ارتفاع هرم خئوپس[ویرایش] توضیح زیر استفاده از قضیهٔ تالس برای تعیین ارتفاع هرم خئوپس را شرح می‌دهد. البته این کار اصلی تالس -که ازبین رفته‌است- را بازگو نمی‌کند. محاسبه ی مقادیر C و D ابتدا تالس طول ضلع قاعدهٔ هرم و میله را اندازه‌گیری می‌کند. سپس همان موقع طول سایه ی میله و سایه ی هرم را اندازه‌گیری می‌کند؛ و داده‌های زیر به دست می‌آید: طول ارتفاع میله: 1.63 m طول سایهٔ میله: 2 m طول ضلع مربع قاعدهٔ هرم: 230 m طول سایهٔ هرم: 65 m با کمک داده‌های بالا می‌توان اطلاعات زیر را به دست آورد: C = 65   m + 230   m 2 = 180   m {\displays yle C=65~{\ ex {m}}+{\f ac {230~{\ ex {m}}}{2}}=180~{\ ex {m}}} حالا با دانستن B , A و c می‌توان از قضیه تالس استفاده کرد. و مقدار D همان ارتفاع هرم می‌باشد. D = C ⋅ A B = 1.63   m ⋅ 180   m 2   m = 146.7   m {\displays yle D={\f ac {C\cdo A}{B}}={\f ac {1.63~{\ ex {m}}\cdo 180~{\ ex {m}}}{2~{\ ex {m}}}}=146.7~{\ ex {m}}} ضرب دو پاره خط و پیدا کردن مقدار معکوس پاره خط[ویرایش] سه مسئلهٔ معروف در هندسه مقدماتی وجود دارد که یونانیان باستان در بحث ترسیم با پرگار و ستاره آن را مطرح کردند.[۶] تثلیث زاویه تضعیف مکعب تربیع دایره دو هزار سال بعد در قرن نوزدهم میلادی با استفاده از جبر مجرد غیرممکن بودن این ترسیم‌ها با پرگار و ستاره مشخص شد. برای بررسی ساختارهای ترسیم پذیر اطمینان یافتن از این موضوع مهم است که با دوخط داده شده خط دیگری می‌توان رسم کرد که مقدار آن برابر حاصل ضرب دو خط اولیه باشد (ترسیم حاصل ضرب دو خط) و همین‌طور نشان دادن اینکه برای هر پاره خط به طول a {\displays yle a} پاره خط دیگری می‌توان ترسیم کرد که اندازهٔ آن a − 1 {\displays yle a^{-1}} باشد (ترسیم معکوس یک پاره خط). با استفاده از قضیهٔ تالس می‌توان نشان داد که هر دو ساخت ممکن است. ترسیم حاصل‌ضرب ترسیم معکوس یک خط تقسیم پاره خط به نسبت دلخواه برای تقسیم پاره خط داده شدهٔ A B ¯ {\displays yle {\ove li e {AB}}} با نسبت m {\displays yle m} به {\displays yle } , نیم خطی را با زاویهٔ دلخواه از A {\displays yle A} رسم می‌کنیم. بر روی نیم خط ساخته شده m + {\displays yle m+ } نقطه با فاصلهٔ یکسان قرار می‌دهیم، سپس خط گذرنده از آخرین نقطهٔ ساخته شده و نقطهٔ B {\displays yle B} رسم می‌کنیم و در ادامه خط دیگری از m {\displays yle m} امین نقطه و موازی با خط قبلی رسم می‌کنیم حالا پاره خط A B ¯ {\displays yle {\ove li e {AB}}} به نسبت خواسته شده تقسیم می‌شود. تصویر مقابل پاره خط A B ¯ {\displays yle {\ove li e {AB}}} را نشان می‌دهد که با نسبت 5 {\displays yle 5} به 3 {\displays yle 3} تقسیم شده‌است.[۷] منابع[ویرایش] ↑ h ps://af olege ds.com/2016/11/23/ he- hi d-papy us-o -adva ced-a cie -egyp ia -ma hema ics/ ↑ No o igi al wo k of Thales has su vived. All his o ical sou ces ha a ibu e he i e cep heo em o ela ed k owledge o him we e w i e ce u ies af e his dea h. Dioge es Lae ius a d Pli y give a desc ip io ha s ic ly speaki g does o equi e he i e cep heo em, bu ca ely o a simple obse va io o ly, amely ha a a ce ai poi of he day he le g h of a objec 's shadow will ma ch i s heigh . Lae ius quo es a s a eme of he philosophe Hie o ymus (3 d ce u y BC) abou Thales: "Hie o ymus says ha [Thales] measu ed he heigh of he py amids by he shadow hey cas , aki g he obse va io a he hou whe ou shadow is of he same le g h as ou selves (i.e. as ou ow heigh ).". Pli y w i es: "Thales discove ed how o ob ai he heigh of py amids a d all o he simila objec s, amely, by measu i g he shadow of he objec a he ime whe a body a d i s shadow a e equal i le g h.". Howeve Plu a ch gives a accou , ha may sugges Thales k owi g he i e cep heo em o a leas a special case of i :".. wi hou ouble o he assis a ce of a y i s ume [he] me ely se up a s ick a he ex emi y of he shadow cas by he py amid a d, havi g hus made wo ia gles by he i e cep of he su 's ays, ... showed ha he py amid has o he s ick he same a io which he shadow [of he py amid] has o he shadow [of he s ick]". (Sou ce: Thales biog aphy of he MacTu o , he ( a sla ed) o igi al wo ks of Plu a ch a d Lae ius a e: Mo alia, The Di e of he Seve Wise Me , 147A a d Lives of Emi e Philosophe s, Chap e 1. Thales, pa a.27) ↑ ۳٫۰ ۳٫۱ h ps://ma hcs.cla ku.edu/~djoyce/java/eleme s/bookVI/p opVI2.h ml ↑ هندسه(3) پایهٔ دوازدهم دورهٔ دوم متوسطه شابک ‎۹۸۷−۹۶۴−۰۵−۳۱۱۳−۶ ↑ h p://ma h.u iv-lyo 1.f /capes/IMG/pdf/ hales.pdf ↑ Ku z, E s (1991). Algeb a (به آلمانی). Vieweg. pp. 5–7. ISBN 3-528-07243-1..mw-pa se -ou pu ci e.ci a io {fo -s yle:i he i }.mw-pa se -ou pu q{quo es:"\"""\"""'""'"}.mw-pa se -ou pu code.cs1-code{colo :i he i ;backg ou d:i he i ;bo de :i he i ;paddi g:i he i }.mw-pa se -ou pu .cs1-lock-f ee a{backg ou d:u l("//upload.wikimedia.o g/wikipedia/commo s/ humb/6/65/Lock-g ee .svg/9px-Lock-g ee .svg.p g") o- epea ;backg ou d-posi io :lef .1em ce e }.mw-pa se -ou pu .cs1-lock-limi ed a,.mw-pa se -ou pu .cs1-lock- egis a io a{backg ou d:u l("//upload.wikimedia.o g/wikipedia/commo s/ humb/d/d6/Lock-g ay-al -2.svg/9px-Lock-g ay-al -2.svg.p g") o- epea ;backg ou d-posi io :lef .1em ce e }.mw-pa se -ou pu .cs1-lock-subsc ip io a{backg ou d:u l("//upload.wikimedia.o g/wikipedia/commo s/ humb/a/aa/Lock- ed-al -2.svg/9px-Lock- ed-al -2.svg.p g") o- epea ;backg ou d-posi io :lef .1em ce e }.mw-pa se -ou pu div[di =l ] .cs1-lock-f ee a,.mw-pa se -ou pu div[di =l ] .cs1-lock-subsc ip io a,.mw-pa se -ou pu div[di =l ] .cs1-lock-limi ed a,.mw-pa se -ou pu div[di =l ] .cs1-lock- egis a io a{backg ou d-posi io :lef .1em ce e }.mw-pa se -ou pu .cs1-subsc ip io ,.mw-pa se -ou pu .cs1- egis a io {colo :#555}.mw-pa se -ou pu .cs1-subsc ip io spa ,.mw-pa se -ou pu .cs1- egis a io spa {bo de -bo om:1px do ed;cu so :help}.mw-pa se -ou pu .cs1-hidde -e o {display: o e;fo -size:100%}.mw-pa se -ou pu .cs1-visible-e o {fo -size:100%}.mw-pa se -ou pu .cs1-subsc ip io ,.mw-pa se -ou pu .cs1- egis a io ,.mw-pa se -ou pu .cs1-fo ma {fo -size:95%}.mw-pa se -ou pu .cs1-ke -lef ,.mw-pa se -ou pu .cs1-ke -wl-lef {paddi g-lef :0.2em}.mw-pa se -ou pu .cs1-ke - igh ,.mw-pa se -ou pu .cs1-ke -wl- igh {paddi g- igh :0.2em} ↑ Os e ma , Alexa de ; Wa e , Ge ha d (2012). Geome y by I s His o y. Sp i ge . pp. 7. ISBN 978-3-642-29163-0. (o li e copy, p. 7, در گوگل بوکس) در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ قضیه تالس موجود است. برگرفته از «h ps://fa.wikipedia.o g/w/i dex.php? i le=قضیه_تالس&oldid=32387630» رده‌ها: ریاضیات مقدماتیقضایای هندسه مسطحههندسه مثلثرده‌های پنهان: صفحه‌های دارای تابع تجزیه‌گر آرایش‌عدد با آرگومان غیرعددییادکردهای دارای منبع به زبان آلمانیمقاله‌های نیازمند به ویکی‌سازیرده انبار با عنوان صفحه متفاوت از ویکی‌داده

ریاضی, علوم پایه 40201 بازدید در این مطلب قصد داریم تا مفهومی را توضیح دهیم که حدود ۶۰۰ سال قبل از میلاد ارائه شده است. این مفهوم تحت عنوان قضیه تالس شناخته می‌شود. جهت درک این مفهوم در ابتدا لازم است تا با مفاهیم مربوط به نسبت دو طول آشنا باشید. فهرست مطالب این نوشته پنهان کردن 1. فیلم آموزشی قضیه تالس 2. نسبتِ دو طول 3. ارتباط بین دو نسبت 4. قضیه تالس 5. اثبات قضیه تالس 5.1. مثال ۱ 5.2. مثال ۲ 5.3. مثال ۳ فیلم آموزشی قضیه تالسدانلود ویدیو نسبتِ دو طول جهت بیان قضیه تالس در ابتدا مطابق با شکل زیر دو پاره‌خط را در نظر بگیرید. نسبت دو طول در شکل بالا برابر با حاصل تقسیم طول دو خط به یکدیگر است. برای نمونه طول پاره‌خط AB برابر با ۵ سانتی‌ متر و طول ‘A’B برابر با ۱۰ سانتی‌ متر است. در این صورت نسبت طول این دوخط برابر است با: همان‌طور که در بالا محاسبه شد،‌ نسبت طول این دو خط برابر با ۰.۵ است. در حقیقت طول AB نصف طول ‘A’B است. البته رابطه‌ی بین ‌طول‌های بالا را می‌توان به‌صورت عکس نیز بیان کرد. همان‌طور که رابطه بالا نشان می‌دهد، طول ‘A’B دو برابر طول AB است. بنابراین دو جمله زیر معادل هم هستند. طول AB نصف طول ‘A’B است. طول $$A’B’$$، ۲ برابر طول AB است. بنابراین به‌منظور مقایسه طول دو پاره‌خط، تنها محاسبه یکی از نسبت‌های بالا کافی است. ارتباط بین دو نسبت حال در این قسمت دو طولِ CD و ‘C’D را نیز در نظر بگیرید. در زیر این دو طول، نشان داده شده‌اند. فرض کنید در شکل بالا طول CD برابر با ۳ سانتی‌ متر و طول ‘C’D برابر با ۶ سانتی متر است. با این فرضیات با تقسیم طول CD به ‘C’D داریم: عدد بدست آمده در بالا نشان می‌دهد در این حالت نیز طول CD نصف طول ‘C’D است. در حقیقت نسبت این دو با نسبت AB و ‘A’B برابر است. بنابراین نسبت طول‌ها در شکل بالا برابر هستند. قضیه تالس با توجه به توضیح بالا، زمان آن فرا رسیده که قضیه تالس را توضیح دهیم. در ابتدا دو خط راستِ و s را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید. حال مطابق با شکل زیر دو خط بالا با خطوطی عمودی تقسیم‌بندی می‌شوند. در مرحله‌ی بعد نقاط ایجاد شده روی خط قرمز رنگ، A,B,C و نقاط روی خط بنفش، ‘A’,B’,C نامیده می‌شوند. همان‌گونه که در شکل بالا مشاهده می‌فرمایید، خط قرمز رنگ به دو بخشِ AB و BC تقسیم‌بندی شده‌ است. با دقتی بیشتر خواهید دید که پاره‌خط AC نیز در شکل بالا وجود دارد. بنابراین نهایتا سه پاره‌خطِ AB,BC,AC روی خط قرمز رنگ ایجاد شده است. همانند خط قرمز رنگ، روی خط بنفش رنگ نیز ۴ پاره‌‌خط‌ِ $$A’B’,B’C’,A’C’$$ ایجاد شده است. قضیه تالس بیان می‌کند که: هرگاه چند خط موازی با استفاده از دو خط مورب، قطع شوند، نسبت‌های ایجاد شده روی آن‌ها با هم برابر‌ند. جمله بالا به چه معنا است؟ جهت درک بهتر، این قضیه را با استفاده از خطوط قرمز و بنفشِ ارائه شده در بالا توضیح می‌دهیم. همان‌طور که می‌بینید این دو خط، راست هستند. از طرفی خطوطِ‌ سبز رنگ موازی یکدیگراند. بنابراین رابطه زیر بین‌ طول پاره‌خط‌های ایجاد شده برقرار است. در حقیقت حاصل تقسیم هر طولی از خط بالا به هر طولی از خط پایین که بین خطوط سبز رنگ قرار گرفته، برابر با عدد ثابتی است. منظور ما از این جمله رابطه زیر است: اثبات قضیه تالس مثلث زیر را در نظر بگیرید. در شکل زیر می‌دانیم DE موازی BC است و می‌خواهیم تساوی $$\f ac {AC}{CD}=\f ac{BC}{CE}$$ را اثبات کنیم. به دلیل یکی بودن ارتفاع‌ها، تساوی $$\la ge{\f ac{A_{\ ia gle{ACE}}}{A_{\ ia gle{CDE}}}=\f ac{AC}{CD}}$$ را داریم. $$A$$ نماد مساحت است. به طور مشابه، می‌توان نوشت: $$\la ge{\f ac{A_{\ ia gle{BCD}}}{A_{\ ia gle{CDE}}}=\f ac{BC}{CE}}$$. مساحت مثلث‌های ADE و BDE نیز برابر است، یعنی $$A_{\ ia gle{ADE}}=A_{\ ia gle{BDE}}$$. زیرا مساحت دو مثلث با ارتفاع برابر بین دو پاره‌خط برابر است. در نتیجه، $$A_{\ ia gle{ACE}}=A_{\ ia gle{BCD}}$$ و $$\f ac{A_{\ ia gle{ACE}}}{A_{\ ia gle{CDE}}}=\f ac{A_{\ ia gle{BCD}}}{A_{\ ia gle{CDE}}}$$. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت: $$ \la ge \f ac{AC}{CD}=\f ac{BC}{CE}$$ و اثبات کامل می‌شود. پیشنهاد می‌کنیم جهت درکِ کامل قضیه تالس، مثال‌های زیر را نیز مطالعه فرمایید. مثال ۱ خطوط a,b در شکل زیر موازی یکدیگر هستند. خطی به‌نام c را از خطوط سبز و آبی رنگ عبور می‌دهیم. طو‌ل‌های ایجاد شده، روی شکل نشان داده شده است. به نظر شما آیا خط c با a,b موازی است؟ اگر خط c موازی دو خط دیگر باشد، نسبت‌های ایجاد شده بایستی با یکدیگر برابر باشند. نسبت طول‌های ایجاد شده بین a,b برابر است با: از طرفی نسبت طول‌های بین خطوط b,c نیز برابرند با: همان‌گونه که می‌بینید نسبت دو طول بدست آمده با هم برابر است؛ بنابراین خط c با خطوط a,b موازی است. مثال ۲ اندازه طول x در شکل زیر چقدر است؟ در شکل بالا دو خطِ راستِ قرمز و بنفش، با سه خطِ موازی سبز رنگ قطع شده‌اند. در نتیجه قضیه تالس برای این مسئله صادق خواهد بود. نسبت طول‌های سمت چپ و راست برابر هستند با: با استفاده از ضرب متقاطع داریم: نهایتا مقدار x برابر است با: قضیه تالس در بالا بیان شد. البته از این قانون نتایجی نیز بدست می‌آید که خصوصا در بدست آوردن اضلاع مثلث کاربرد بسیاری دارد. برای مثال مطابق با شکل زیر مثلثی با رئوس ABC را در نظر بگیرید. فرض کنید خطی موازی BC، مثلث را به دو قسمت تبدیل می‌کند. در شکل فوق روابط زیر برقرار خواهند بود. این رابطه در نتیجه قضیه‌ی تالس بدست می‌آید. شاید عجیب باشد ولی با استفاده از رابطه فوق می‌توانید طول یک برج بلند را با استفاده از طول سایه آن بدست آورید. در مثال ۳ چنین کاری انجام شده است. مثال ۳ فرض کنید می‌خواهیم ارتفاع اهرام ثلاثه مصر را بدست آوریم. در این حال شخصی که قدش برابر با ۱.۸ متر است، در فاصله‌ای از برج می‌ایستد، به نحوی که نوک سایه‌ی اهرام و سایه‌ی شخص در یک نقطه قرار می‌گیرند (شکل زیر). با فرض این‌که طول سایه شخص برابر با ۹ متر و طول سایه اهرام برابر با ۶۹۵ متر باشد، ارتفاع اهرام چند متر خواهد بود؟ با توجه به این‌که نوک سایه اهرام و شخص در یک نقطه قرار دارند، بنابراین شعاع نور عبوری روی اهرام و شخص، وتر مثلثی قائم الزاویه مطابق با شکل زیر است. قضیه تالس برای مثلث بالا را می‌توان در قالب رابطه‌ی زیر بیان کرد: با جایگذاری مقادیر در رابطه‌ی بالا داریم: با استفاده از ضرب متقاطع، مقدار x برابر با عدد زیر بدست می‌آید. بنابراین ارتفاع اهرام ثلاثه با استفاده از قضیه تالس برابر با ۱۳۹ متر بدست آمد. قضیه‌ی تالس مفهومی پرکاربرد در ریاضیات و علوم تجربی محسوب می‌شود. این قضیه حتی در مباحث اپتیک در فیزیک نیز کاربرد دارد. در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه‌ی ریاضیات و فیزیک، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند: مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجموعه‌ آموزش‌های ریاضی و فیزیک مجموعه‌ آموزش‌های دبیرستان و پیش‌دانشگاهی آموزش جامع هندسه دبیرستان سینوس، کسینوس و تانژانت یک زاویه — به زبان ساده قانون سینوس‌‌ها (Law of Si es) — به زبان ساده ^^ لینک کوتاه کپی شد به اشتراک بگذارید: منبع فرادرسEkua io مجید عوض زاده (+) «مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند. آیا این مطلب برای شما مفید بود؟ بلی خیر

نظر خود را بنویسید

آخرین مطالب